ΕΚΗΒΟΛΟΣ

Ασύμμετροι αριθμοί, χρυσή τομή, πυθαγόρειο θεώρημα,
εξισώσεις απροσδιόριστης ανάλυσης κ.λπ. κ.λπ.

Ιδρυτής της Σχολής του Κρότωνα (λέγεται και της Κρότωνος), πόλης της Μεγάλης Ελλάδας, αποικίας των Σπαρτιατών και Αχαιών υπήρξε ο Πυθαγόρας ο Σάμιος. Παρʼ όλο που ως έφηβος ο Πυθαγόρας φοίτησε στη Σχολή της Μιλήτου κι άκουσε μαθήματα από τον ίδιο τον Θαλή, εν τούτοις η διδασκαλία και ο τρόπος εργασίας στη Σχολή του Κρότωνος διέφεραν ουσιωδώς απʼ αυτών της Σχολής της Μιλήτου

Ο Θαλής είχε ρίξει το κύριο βάρος των προσπαθειών του στην έρευνα και στη σπουδή των φυσικών φαινομένων. Ο κύριος στόχος, προς τον οποίον απέβλεπε η Σχολή της Μιλήτου (φυσικομαθηματικού τύπου σχολή θεραπεύουσα και τη φιλοσοφία), ήταν να δώσει απαντήσεις στο κοσμολογικό πρόβλημα απαλλάσσοντας τη σκέψη και την έρευνα από κάθε θεοκρατική πέδη και θρησκευτική πρόληψη. (Βλ. Θαλής, Αναξίμανδος, Αναξιμένης).

Ο Πυθαγόρας επικέντρωσε τις προσπάθειές του στην έρευνα και στη σπουδή των μαθηματικών και στην ηθική διδασκαλία. Η Σχολή του Κρότωνα διατήρησε τον τύπο της Μιλησίου Σχολής και περιέλαβε στους σκοπούς της και τις επιδιώξεις της Σχολής των Ηθικών και Πολιτικών Επιστημών, όπως θα λέγαμε σήμερα.

Η θεωρία των αριθμών, η γεωμετρία, η γεωμετρική άλγεβρα και η μαθηματική θεωρία της μουσικής, την οποία θεωρούσαν αδελφή της αστρονομίας, έλαβαν στην Πυθαγόρειο Σχολή του Κρότωνα μεγάλη ανάπτυξη. Τα μαθηματικά επιτεύγματα των Πυθαγορείων θεωρούνται σπουδαία. Δεν είναι υπερβολή, εάν λεχθεί, ότι οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν τα σπουδαιότερα θεωρήματα της αριθμητικής και της γεωμετρίας κι έθεσαν τις βάσεις του μαθηματικού οικοδομήματος της ανθρωπότητας.

Δεν έφτασε ποτέ στη δημοσιότητα σε λεπτομέρεια το έργο και τα αποτελέσματα των επιστημονικών ερευνών, ιδίως των μαθηματικών, του Πυθαγόρα και των μαθητών του. Και σήμερα ακόμη είναι πολύ δύσκολο να αποφανθεί κανείς για το έργο τους· πρέπει να διαβάσει σχεδόν όλους από του ε΄ π.Χ. αι. και εντεύθεν έλληνες και λατίνους συγγραφείς, οι οποίοι μνημονεύουν περί του Πυθαγόρα και των Πυθαγορείων. Στη δυσκολία αυτή πρέπει να προστεθεί, ότι η διδασκαλία στη Σχολή του Πυθαγόρα ήταν μυστική και οι πρώτες πληροφορίες περί των πυθαγορείων θεωριών ήλθαν στη δημοσιότητα κατʼ αρχήν από τον Πυθαγόρειο Φιλόλαο περί το 400 π.Χ., ήτοι 100 περίπου έτη μετά το θάνατο του διδασκάλου. Έχουν περισωθεί τρείς βιογραφίες του Πυθαγόρα γραμμένες όμως, από συγγραφείς του γʼ αι. μ.Χ. (Πορφύριο, Ιάμβλιχο και Διογένη Λαέρτιο), οι οποίοι έλαβαν τις πληροφορίες τους από προγενέστερους συγγραφείς, από την προφορική παράδοση κι από το θρύλο.

Πολλοί ισχυρίζονται, λέει ο Διογένης Λαέρτιος, ότι ο Πυθαγόρας δεν άφησε κανένα σύγγραμμα. Ο Ηράκλειτος όμως, κάνει λόγο για το σύγγραμμα του Πυθαγόρα με τίτλο «Φυσικόν». Εκτός αυτού, του αποδίδονται και τα εξής συγγράμματα: «Παιδευτικόν», «Πολιτικόν», «Περί του όλου» (γραμμένο σε στίχους), «Ιερός λόγος», «Περί ψυχής», «Περί ευσεβείας» κ.ά..

Πολύ νέος ο Πυθαγόρας παρακολούθησε μαθήματα από τους Θαλή και Αναξίμανδρο στη Σχολή της Μιλήτου κι από το σοφό Φερεκύδη στη Σύρο. Κατόπιν μετέβη στην Αίγυπτο, όπου παρέμεινε –σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο– δίπλα στους Αιγυπτίους ιερείς επί 22 έτη μελετώντας ιερατικά συγγράμματα. Τις δαπάνες του Πυθαγόρα τις είχε αναλάβει ο πατέρας του, ο οποίος ήταν πλούσιος έμπορος, ενώ για τον Πλάτωνα είναι γνωστό, ότι εξασφάλισε τα απαιτούμενα έξοδα με την πώληση στην Αίγυπτο φορτίου ελαίου.

Όταν ο βασιλιάς των Περσών, Καμβύσης, κατέλαβε την Αίγυπτο, ο Πυθαγόρας μεταφέρθηκε στη Βαβυλώνα, όπου παρέμεινε 12 έτη. Εικάζεται, ότι κατόπιν μεσολάβησης του έλληνα Δημοκήδους, προσωπικού γιατρού του βασιλιά των περσών, αφέθηκε ελεύθερος κι επέστρεψε στην Ελλάδα.

Ο Πυθαγόρας επέστρεψε στην Ελλάδα σε ηλικία 56 ετών, σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο, ή 40 ετών, σύμφωνα με τον Πορφύριο. Ενώ μέχρι το στ΄ αι. π.Χ. το εμπόριο και η ναυτιλία είχαν μεγάλη ανάπτυξη στις ελληνικές πόλεις της Μικράς Ασίας, μετά την εξάπλωση των περσών στη Μικρά Ασία και στο Αιγαίο, η Μεσόγειος ήταν αυτή, που άρχισε να αποτελεί τον υγρό δρόμο του εμπορίου. Τότε δημιουργήθηκαν και οι κατάλληλες οικονομικές, κοινωνικές και πολιτικές συνθήκες για τη δημιουργία σχολών και για μεγάλες πνευματικές και φιλοσοφικές αναζητήσεις. Μετά την επιστροφή του ο Πυθαγόρας λοιπόν, δεν έμεινε πολύ καιρό στην Ελλάδα αλλά πήγε στην Κάτω Ιταλία, τη Μεγάλη Ελλάδα, όπως λεγόταν, όπου εγκαταστάθηκε στην παραθαλάσσια πόλη Κρότωνα, στο νότιο άκρο του κόλπου του Τάραντα, όπου βρήκε τις κατάλληλες συνθήκες για την ίδρυση της Σχολής του.

Επί 40 περίπου έτη μοναδικός διδάσκαλος της Σχολής ήταν ο ίδιος ο Πυθαγόρας. Τόσο μεγάλη προσωπικότητα ήταν, ώστε, ό,τι δίδασκε αποτελούσε για τους μαθητές του θέσφατο. Περίφημος έχει παραμείνει η φράση, η οποία ακουγόταν μεταξύ των μαθητών του «αυτός έφα», δηλαδή το είπε αυτός και δεν υπάρχει αμφιβολία, ότι είναι ορθό.

Λίγα χρόνια μετά την έναρξη της λειτουργίας της Σχολής του ο Πυθαγόρας εισήχθηκε σε δίκη κατηγορηθείς για αθεΐα και διαφθορά των νέων. Στάθηκε όμως τυχερότερος του Σωκράτη, ο οποίος μετά 150 περίπου έτη υπέστη την ίδια δίωξη, γιατί το Ανώτατο Δικαστήριο του Κρότωνα, αποτελούμενο από 1.000 δικαστές, τον αθώωσε πανηγυρικά. Η αθώωσή του συνέτεινε, ώστε να συρρέουν μαθητές στη Σχολή από όλα τα μέρη της Ελλάδας. Ο φόβος των συκοφαντιών και των διώξεων ανάγκασε τον Πυθαγόρα να είναι πολύ προσεκτικός στην εκλογή των μαθητών του. Πολλοί ήταν οι κλητοί, λίγοι όμως οι εκλεκτοί. Οι μαθητές διακρίνονταν στους λεγόμενους ακουσματικούς, (δηλαδή ακροατές) και στους μαθηματικούς. Οι ακουσματικοί δεν επιτρεπόταν να υποβάλλουν ερωτήσεις. Επί μία πενταετία από της εγγραφής τους ήταν υποχρεωμένοι μόνο να παρατηρούν και να ακούν τη διδασκαλία, χωρίς να υποβάλλουν απολύτως καμμία ερώτηση. Παρακολουθούνταν όμως σε όλες τις εκδηλώσεις της ζωής τους από τον Πυθαγόρα και τους βοηθούς του και, όταν κρίνονταν κατάλληλοι και επαρκώς προετοιμασμένοι, υποβάλλονταν στην εισιτήριο δοκιμασία για να καταταγούν στην τάξη των μαθηματικών, των τακτικών δηλαδή μαθητών. Τόσο οι ακουσματικοί, όσο και οι μαθηματικοί ήταν εσωτερικοί μαθητές, που κατέβαλλαν τις ανάλογες δαπάνες. Υπήρξε εποχή κατά την οποία η Σχολή αριθμούσε 2.000 μαθητές εκ των δύο κατηγοριών.

Η περί τα ηθικά και τα πολιτικά διδασκαλία δεν δινόταν εκ του εμφανούς, αλλά δια αναλόγων συμβόλων και συμβολικών φράσεων. Προκειμένου να γίνει αντιληπτή η προσπάθεια της Σχολής του Πυθαγόρα κατά το μέρος των πολιτικών της επιδιώξεων, πρέπει να αναπολήσουμε την πολιτική κατάσταση της εποχής εκείνης. Στις πόλεις – κράτη του ελληνικού χώρου, αλλού μεν επικρατούσαν τα τυραννικά καθεστώτα, αλλού δε τα δημοκρατικά, αλλού δε τα υπερδημοκρατικά, δηλαδή τα οχλοκρατικά. Στις πόλεις – κράτη υπήρχαν δηλαδή πολιτεύματα ευρισκόμενα μεταξύ τυραννίας – οχλοκρατίας. Την κατάσταση των υπερβολών, τόσο της τυραννίας του ενός προσώπου, όσο και της τυραννίας της προερχομένης από την οχλοκρατία, σκέφθηκε να θεραπεύσει ο Πυθαγόρας με τη συστηματική αγωγή εκλεκτών κατά το πνεύμα και το ήθος μαθητών. Η προσπάθεια αυτή δεν ήταν εύκολη, όπως αποδεικνύει η πυρπόληση της Σχολής και η σφαγή αυτών που βρίσκονταν μέσα από τους ακραίους δημοκρατικούς. Τα γεγονότα αυτά έλαβαν χώρα περί το 450 π.Χ. μερικές δεκάδες χρόνια μετά το θάνατο του Πυθαγόρα. Η ίδρυση της Σχολής του Κρότωνα υπολογίζεται, ότι έγινε περί το 550-540 π.Χ.. Κατά συνέπεια η Σχολή διατηρήθηκε 50 περίπου έτη μετά το θάνατο του ιδρυτή της.

Στην Αρχαία Ελλάδα, Αριθμητική ονομαζόταν, εκείνο το οποίο εμείς σήμερα λέμε Θεωρία των Αριθμών. Η πρακτική αριθμητική ονομαζόταν τότε Λογιστική. Τα στοιχεία της Θεωρίας των Αριθμών, που διέσωσε ο Ευκλείδης συνεχίζοντας την Πυθαγόρειο παράδοση στα βιβλία 7, 8, 9 των «Στοιχείων» του, θεωρούνται αποτελέσματα των επιστημονικών ερευνών της Σχολής του Κρότωνα.

Ειδικά στον Πυθαγόρα και στη Σχολή του αποδίδονται:

Σε αρκετές περιπτώσεις ο Πυθαγόρας κι οι Πυθαγόρειοι έδιναν διάφορες ερμηνείες σε κάποιες ιδιότητες αριθμών. Μια τέτοια περίπτωση είναι η ιδιότητα των φίλων αριθμών. Εκ πρώτης όψεως θεωρείται πολύ περίεργο να υπάρχουν αριθμοί, οι οποίοι να θεωρούνται φίλοι μεταξύ τους. Ο Ιάμβλιχος, στην πραγματεία του «Περί της Νικομάχου αριθμητικής εισαγωγής» παρέχει την ερμηνεία των αριθμών αυτών γράφοντας τα ακόλουθα: «Μερικούς αριθμούς τους καλούν φίλους μεταξύ τους, όταν αποδίδουν σε αυτούς τις αρετές και αστείες συμπτώσεις, όπως π.χ. τον αριθμό 220 και τον 284». Δύο αριθμοί καλούνται φίλοι, όταν το άθροισμα των δυνατών πηλίκων κάθε αριθμού δίδει τον άλλον αριθμό.

Τα δυνατά πηλίκα του αριθμού 220 είναι: 220:220=1, 220:110=2, 220:55=4, 220:44=5, 220:22=10, 220:11=20, 220:10=22, 220:2=110, 220:4=55, 220:5=44, 220:20=11. Το άθροισμα όλων των πηλίκων που βρέθηκαν: 1+2+4+5+10+20+ 22+110+55+44+11=284

Το ίδιο συμβαίνει με τα δυνατά πηλίκα του αριθμού 284, διότι είναι: 284:284=1, 284:142=2, 284:71=4, 284:4=71, 284:2=142. Το άθροισμα όλων των πηλίκων είναι: 1+2+4+71+142=220.

Η χαριτωμένη αυτή ιδιότητα και αστεία κατά τον Ιάμβλιχο σύμπτωση των φίλων αριθμών οδήγησε πολλούς εξέχοντες μαθηματικούς των νεώτερων χρόνων στις έρευνες για την εύρεση ενός μαθηματικού τύπου, με τον οποίο να βρίσκονται οι φίλοι αριθμοί. Ο Καρτέσιος (ιζ΄ αι. μ.Χ.) βρήκε μόνο τρία ζεύγη φίλων αριθμών, ενώ ο Όυλερ (ιη΄ αι. μ.Χ.) βρήκε 61 ζεύγη φίλων αριθμών. Το πρόβλημα όμως της εύρεσης μαθηματικού τύπου, που να παρέχει όλα τα ζεύγη των φίλων αριθμών, παραμένει ακόμη άλυτο.

Η μεγάλη ανάπτυξη των μαθηματικών συνεχίστηκε κι από μεταγενέστερους, που είχαν διατελέσει μαθητές του Πυθαγόρα στη Σχολή του Κρότωνα, όπως ο σπουδαίος μαθηματικός από την Πάρο, Θυμαρίδας. Σύμφωνα με τον Ιάμβλιχο, στους εκ Πάρου μαθητές του Πυθαγόρα περιλαμβάνονται οι εξής: Αιήτιος, Φαινεκλής, Δεξίθεος, Αλκίμαχος, Δείναρχος, Μέτων, Τίμαιος, Τιμησιάναξ κι Εύμοιρος, χωρίς να είναι γνωστό άν μεταξύ αυτών υπήρχαν κι άλλοι διακεκριμένοι μαθηματικοί, εκτός του Θυμαρίδα. Ο Ιάμβλιχος χρησιμοποιεί τον όρο «Θυμαρίδειο επάνθημα». Πρόκειται για μέθοδο επίλυσης αλγεβρικών εξισώσεων, οι οποίες σήμερα λέγονται διοφαντικές ή εξισώσεις απροσδιόριστης ανάλυσης. Η εύρεση των τριάδων ακεραίων αριθμών, οι οποίοι επαληθεύουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα και βρέθηκαν πρώτα από τον Πυθαγόρα, αποτελεί σπουδαία συμβολή στη θεωρία των διοφαντικών εξισώσεων. Φαίνεται, ότι με την υπόδειξη του διδασκάλου ο Θυμαρίδας είχε ειδικευθεί στο μαθηματικό αυτό κλάδο της θεωρίας των αριθμών. Η λέξη επάνθημα δεν έχει ιδιαίτερη σχέση με τα μαθηματικά. Είναι πιθανό, ότι η συναφής επινόηση του Θυμαρίδα για την επίλυση διοφαντικών εξισώσεων έκανε μεγάλη εντύπωση εκείνη την εποχή και παρομοιάσθηκε με άνθος, προς απαύγασμα μιας πνευματικής προσπάθειας.

Ο Ιάμβλιχος αναφέροντας ένα παράδειγμα επίλυσης μιάς τέτοιας εξίσωσης από το Θυμαρίδα ονομάζει τη μέθοδό του γλαφυροτάτη και αναφέρει το εξής πρόβλημα, του οποίου παραθέτει τη λύση: Να βρεθούν τέσσερις αριθμοί τέτοιοι, ώστε το άθροισμα του πρώτου με τον δεύτερο να είναι το διπλάσιο του αθροίσματος του τρίτου με τον τέταρτο και πάλι το άθροισμα του πρώτου με τον τρίτο να είναι τριπλάσιο του αθροίσματος του δεύτερου με τον τέταρτο και ομοίως το άθροισμα του πρώτου με τον τέταρτο να είναι τετραπλάσιο του αθροίσματος του δεύτερου με τον τρίτο, το άθροισμα δε και των τεσσάρων αριθμών να είναι πενταπλάσιο του αθροίσματος του δεύτερου με τον τρίτο. Το πρόβλημα λύνεται με καταπλήσσουσα μαθηματική σκέψη, η οποία παριστά ανάγλυφη την μεγάλη ανάπτυξη της θεωρίας των αριθμών από τους Πυθαγόρειους. (Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι κατά σειράν: 73, 7, 17, 23).

Η πολιτικοθρησκευτική Βυζαντινή εξουσία κήρυξε υπό διωγμό τα Μαθηματικά. Ιδού μερικά μόνο δείγματα σχετικών διαταγών:

«Η μαθηματική τέχνη αξιόποινος ούσα απαγορεύεται». Ιουστινιάνειος Κώδιξ, ΙΧ, 18, 2.

(Γιάννης Λάζαρης, Ηλεκτρολόγος - Μηχανολόγος Ε.Μ.Π.).

ΕΣΤΙΑΖΟΥΜΕ ΣΤΟΝ ΑΡΧΑΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ
«Τό ἑλληνικό μέτρον εἶναι τό πένθος τοῦ Λόγου» *Παναγιώτης Στάμος*
Κλασσικά κείμενα-αναλύσεις	Εργαλεία Φιλολόγων	Συνδέσεις	Εμείς και οι Αρχαίοι	Η Αθηναϊκή δημοκρατία
Αρχαία Σπάρτη	ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΡΘΡΟΓΡΑΦΙΑ		Θουκυδίδης	Το Αθηναϊκό πολίτευμα