ΕΚΗΒΟΛΟΣ

Η ΙΔΙΑΙΤΕΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ

ΣΤΟΝ ΑΡΧΑΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ*

Ν. Καστάνη

Σ' όλο, σχεδόν, τον κόσμο, η ανάπτυξη της αρχαίας ελληνικής σκέψης αποτελεί ένα αξιοθαύμαστο γεγονός. Κάποιοι, μάλιστα, μιλούν για "ελληνικό θαύμα". Κατ' επέκταση, μέσα σ' αυτό το πνεύμα, αναφέρεται και το "ελληνικό θαύμα στα Μαθηματικά". Ίσως αυτή η στάση να εκφράζει μια υπερβολική έκπληξη και έναν διογκωμένο ενθουσιασμό. Δεν προέρχεται, όμως, από μια μυθοπλασία, από ένα πλασματικό κατασκεύασμα, γιατί απηχεί μια αξιοσημείωτη ιστορική πραγματικότητα: την πολιτισμική αναμόρφωση του Αρχαίου Κόσμου, η οποία αποτέλεσε τη μήτρα της σύγχρονης κουλτούρας. Και είναι αλήθεια ότι η πολιτισμική αυτή αναμόρφωση ήταν και είναι το επίκεντρο του ιστορικού ενδιαφέροντος κι ο απώτερος σκοπός μιας πληθώρας μελετών και αναλύσεων του αρχαίου ελληνικού τρόπου σκέψης και συμπεριφοράς. Πρόκειται για μια οπτική γωνία που είναι στενά συνυφασμένη με τη διαχρονική και ευρύτατα διαδεδομένη πεποίθηση ότι

Η ευρωπαϊκή σκέψη αρχίζει με τους αρχαίους Έλληνες.^[1] Αυτή η στάση είναι, όπως φαίνεται, αρκετά ισχυρή, γιατί εμπνέει, ενεργοποιεί και νομιμοποιεί τους μελετητές της αρχαίας ελληνικής δημιουργίας. Αποτελεί ταυτόχρονα και το πλαίσιο διαμόρφωσης του θαυμασμού για την πνευματική και πολιτισμική ανέλιξη των αρχαίων Ελλήνων.

Μέσα σ' αυτό το υψηλό επίπεδο ενδιαφέροντος και ιστοριογραφικής δυναμικής η ανάπτυξη των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών κατέχει μια κεντρική θέση. Κι όχι τυχαία, γιατί το συγκεκριμένο είδος επιστημονικής σκέψης άφησε ανεξίτηλα τα ίχνη του από την Αρχαιότητα μέχρι σήμερα. Στην προκειμένη περίπτωση αξίζει να αναφερθεί η πολύ χαρακτηριστική ρήση του διαπρεπή άγγλου ιστορικού των Μαθηματικών Sir Thomas L. Heath (1861-1940), όσον αφορά τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη, η αντιπροσωπευτικότερη πραγματεία των αρχαίων ελληνικών Μαθηματικών:

Κανένα ίσως έργο, εκτός από τη Βίβλο, δεν έχει τέτοια διάδοση.^[2] Μια επισήμανση που δεν έχασε την α^α της μέχρι τώρα, στην αρχή, δηλαδή, της 3^ης χιλιετίας μ. Χ. Κι αυτό γιατί το διεθνές ενδιαφέρον για το συγκεκριμένο έργο του Ευκλείδη διατηρείται αμείωτο, όπως καταδεικνύει η ανανεωμένη επανέκδοσή του στα γαλλικά, τη δεκαετία του 1990, η βελτιωμένη επανέκδοσή του στα κινεζικά το 199θ και η πρώτη μετάφρασή του στα μογγολικά το 1987.

Χωρίς αμφιβολία πρόκειται για μια απήχηση του Ευκλείδη σ' όλα τα γεωγραφικά μήκη και πλάτη του κόσμου και σ' όλες τις εποχές. Γεγονός που αναδεικνύει όχι μόνο τη δική του διαχρονικότητα και διαπολιτισμικότητα, αλλά και τη σπουδαιότητα όλης της μαθηματικής κληρονομιάς του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού. Κι αυτό γιατί η επιστημονική και ιστορική αξία του έργου του δεν είναι ανεξάρτητη από την ωριμότητα και τη δυναμική του διανοητικού περιβάλλοντος απ' όπου προήλθε. Με άλλα λόγια, το έργο του Ευκλείδη δεν ήταν, ούτε μπορούσε να είναι αποκομμένο από την ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης των αρχαίων Ελλήνων της προ-αλεξανδρινής περιόδου. Θα μπορούσε, μάλιστα, να θεωρηθεί ως η πρώτη αποκορύφωση αυτής της πνευματικής ανέλιξης.

Είναι αλήθεια ότι οι σκέψεις αυτές διαπερνούν τον επιφανειακό θαυμασμό και φθάνουν σ' έναν βαθύτερο προβληματισμό, στο ζήτημα της συνεκτικότητας των εξατομικευμένων μαθηματικών γνώσεων του Αρχαίου Ελληνικού Πολιτισμού. Ανακύπτει, δηλαδή, το ερώτημα της διαμόρφωσης, τότε, ενός νέου είδους μαθηματικής σκέψης που διακρίνεται από τα αντίστοιχα είδη των προ-ελληνικών πολιτισμών της Μεσοποταμίας και της Αιγύπτου. Ο προβληματισμός αυτός μπορεί να τεθεί ως εξής:

Τι χαρακτηρίζει τα αρχαία ελληνικά Μαθηματικά; Ποια είναι η ιδιαιτερότητα της μαθηματικής σκέψης του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού; Δίνεται έτσι μια οπτική γωνία για την κατανόηση του χαρακτήρα της μαθηματικής γνώσης στην Αρχαία Ελλάδα και για την πολιτισμική δικαιολόγησή του. Αυτό σημαίνει ότι διεγείρεται ένας μεταγνωστικός προβληματισμός για το επιστημολογικό και πολιτισμικό παρασκήνιο της ιδιομορφίας της μαθηματικής νοοτροπίας και δραστηριότητας των αρχαίων Ελλήνων. Με άλλα λόγια, ανοίγεται ένας δρόμος για τη διείσδυση στο υπόβαθρο της μαθηματικής σκέψης και συμπεριφοράς του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού, με προσανατολισμό τα γνωστικά και συλλογικά χαρακτηριστικά κι όχι διαμέσου ενός προπετάσματος από τεχνοκρατικά επιτεύγματα και ατομοκεντρική σπουδαιολογία.

Μια από τις πρώτες ενδείξεις του νέου τρόπου σκέψης την περίοδο της αρχαίας ελληνικής Αναγέννησης, του 6^ου π.Χ. αιώνα, είναι η μέτρηση του ύψους της πυραμίδας. Σύμφωνα με τον Πλούταρχο (περ. 50-130 μ.Χ.) και τον Διογένη Λαέρτιο (3^ος αιώνας μ.Χ.) ο Θαλής ο Μιλήσιος (περ. 625-546 π.Χ.) μέτρησε το ύψος της πυραμίδας συσχετίζοντας τη σκιά της με τη σκιά μιας ράβδου.³ Όπως υποδεικνύουν όλες οι ιστορικές ανακατασκευές για το σκοπό αυτό ο μιλήσιος σοφός μέτρησε τη σκιά της πυραμίδας, όταν η σκιά της ράβδου είναι ίση με το ύψος της, οπότε το μήκος της σκιάς της πυραμίδας θα ήταν όσο και το ύψος της. Από τη

μεθόδευση

³ Βλ. Τέζα, Χ.Α.: Ο Θαλής ο Μιλήσιος και οι Αρχές των Επιστημών. Η Οδός προς τη Φιλοσοφία, Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Επιστημονική Επετηρίδα της Φιλοσοφικής Σχολής, Παράρτημα αρ. 44, 1990, σελ. 81-82.

αυτή διαπιστώνεται, χωρίς δυσκολία, ότι το θεωρητικό της υπόβαθρο στηρίζονταν σ' έναν έμμεσο τρόπο σκέψης. Δεν αντιμετωπίσθηκε δηλαδή, ούτε μπορούσε να αντιμετωπισθεί, η μέτρηση αυτή μ' έναν άμεσο τρόπο, λόγου χάρη με την απ' ευθείας μέτρηση του συγκεκριμένου ύψους μ' ένα σχοινί που διαπερνάει κατακόρυφα την πυραμίδα από την κορυφή μέχρι τη βάση της.

Παρατηρείται λοιπόν ένας ιδιότυπος τρόπος σκέψης και πρωτότυπος, εφ' όσον δεν έχει σηματοδοτηθεί κάτι παρόμοιο στην ιστορία των Μαθηματικών πριν τον Θαλή. Θα πρέπει να σημειωθεί εδώ ότι το περιστατικό αυτό του έμμεσου τρόπου σκέψης δεν είναι το μοναδικό που αποδίδεται στον Θαλή. Σύμφωνα με την δοξογραφική παράδοση, ένα δεύτερο μεθοδολογικά όμοιο πρόβλημα που έλυσε ο μιλήσιος σοφός ήταν η μέτρηση της απόστασης ενός πλοίου από το λιμάνι.^{^[3]} Στην περίπτωση αυτή μια υποθετική ανακατασκευή της συγκεκριμένης λύσης είναι η εξής: χαράσσεται η κάθετη ευθεία ΛΜΑ στη νοητή γραμμή ΛΜ (Λιμάνι-Πλοίο), έτσι ώστε ΛΜ=ΜΑ, στη συνέχεια προσδιορίζεται το σημείο Π' πάνω στην κάθετη ευθεία της ΛΜΑ στο Α και με την ιδιότητα να φαίνεται απ' αυτό το Π μέσω του Μ (μ' άλλα λόγια το Π' να είναι στην ίδια ευθεία με το Π και το Μ).^[4]

Το ερώτημα που δημιουργείται, τώρα, είναι: υπάρχουν άλλες ιστορικές μαρτυρίες, ενδείξεις ή εκφάνσεις που να πιστοποιούν τον έμμεσο τρόπο σκέψης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισμό και να είναι ιστοριογραφικά ισχυρότερες απ' αυτές που αποδίδονται στον Θαλή;

Η πιο πειστική περίπτωση είναι η μέτρηση της ακτίνας της γης από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, τον 3° αιώνα π.Χ. Πρόκειται για ένα επίτευγμα που ήταν αδύνατον να προκύψει με άμεσο τρόπο. Προήλθε μ' έναν έμμεσο συλλογισμό. Συγκεκριμένα συνδυάστηκε η μέτρηση της γωνίας που σχηματίζει η κατακόρυφος με τις προσπίπτουσες ακτίνες του ηλίου (πιθανότατα με τη βοήθεια του λόγου μιας ράβδου προς τη σκιά της) στην Αλεξάνδρεια, τη στιγμή που οι ακτίνες του ήλιου έπεφταν κατακόρυφα στη Συήνη (σημερινό Ασσουάν), τη μέτρηση της Απόστασης Αλεξάνδρειας-Συήνης και την αξιοποίηση των μαθηματικών ιδιοτήτων για τις εντός εναλλάξ γωνίες και των ισοσκελών τριγώνων.^[5]

Μια επίσης χαρακτηριστική περίπτωση έμμεσου τρόπου σκέψης είναι η συνειδητοποίηση του σφαιρικού σχήματος της γης. Πρόκειται για μια γνωστική εξέλιξη που πραγματοποιήθηκε , όπως φαίνεται, με την αξιοποίηση κάποιων παρατηρησιακών ενδείξεων, όπως π.χ. η σταδιακή απώλεια οπτικής επαφής ενός πλοίου όταν απομακρύνεται από το λιμάνι, όπου χάνεται πρώτα το σκάφος και μετά το κατάρτι, ή το εσωτερικό τόξο της σελήνης στις διάφορες φάσεις της, ή ακόμη η αλλαγή των αστερισμών με τη μετατόπιση σε διαφορετικά γεωγραφικά μήκη. Τα πρώτα ίχνη της ιδέας αυτής σηματοδοτούνται στην προ-πλατωνική περίοδο και καθιερώθηκε την εποχή του Πλάτωνα.^[6]

Διαφαίνεται λοιπόν ότι ο έμμεσος τρόπος σκέψης διαποτίζει το επιστημολογικό υπόβαθρο του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού. Δύσκολα, όμως, έως αδύνατο μπορεί να αποδοθεί κάτι ανάλογο στους προ-ελληνικούς πολιτισμούς. Περιπτώσεις όπως αυτές που αναφέρθηκαν ήταν μάλλον ασύμβατες με τους πρώτους μεγάλους πολιτισμούς που δημιουργήθηκαν στη Μεσοποταμία και στην Αίγυπτο, οι οποίοι χαρακτηρίζονται κύρια από έναν εμπειρισμό και μια αμεσότητα. Έτσι δημιουργείται το ερώτημα:

Τι μεσολάβησε και άνοιξε ο πνευματικός εκείνος ορίζοντας που εξέθρεψε τον έμμεσο τρόπο σκέψης; Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να επισημανθούν οι αλλαγές στην αρχαία ελληνικά κουλτούρα και συμπεριφορά, που αναμόρφωσαν τη θεωρητική υποδομή του περιεχομένου και των διαδικασιών σκέψης.

Τρεις σημαντικότατες πολιτισμικές καινοτομίες άλλαξαν τη νοοτροπία και την πνευματική στάση των αρχαίων Ελλήνων και πρώτα αυτών που ζούσαν στο Ανατολικό Αιγαίο, από τον 6^ο π.Χ. αιώνα περίπου. Συγκεκριμένα εμφανίστηκε και εδραιώθηκε ένα νέο είδος διακυβέρνησης και εξουσίας, ένας νέος τρόπος εμπορικών συναλλαγών και ένα νέο μέσο επικοινωνίας.^[7] Μ' άλλα λόγια πρόβαλαν, γύρω στον 6^ο αιώνα π.Χ., τρεις νέες θεσμικές και νοητικές καταστάσεις: η δημοκρατία, το νόμισμα και το αλφάβητο. Αξίζει να αναλυθούν, λίγο, αυτές οι νέες συνιστώσες του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού.

Είναι κοινή αλήθεια ότι ένα από τα κύρια στοιχεία που χαρακτηρίζουν την αρχαία ελληνική κοινωνία, την προ-αλεξανδρινή περίοδο, αποτελεί η δημοκρατία σε μια σειρά από ελληνικές πόλεις. Και όλοι λίγο-πολύ γνωρίζούν ότι η δημοκρατία ως σύστημα διακυβέρνησης, άσκησης εξουσίας και συλλογικής συμπεριφοράς είναι κάτι πολύ διαφορετικό, διαμετρικά αντίθετο, από τα δεσποτικά καθεστώτα των προ-ελληνικών πολιτισμών της Μεσοποταμίας, της Αιγύπτου, της Περσίας, αλλά και αυτών της αρχαϊκής ελληνικής περιόδου. Η ειδοποιός διαφορά τους εκδηλώνεται στον τρόπο άσκησης της εξουσίας. Στην προκειμένη περίπτωση τα δεσποτικά συστήματα διακυβέρνησης από μια αμεσότητα στην άσκηση της εξουσίας, του είδους "αποφασίζουμε και διατάσουμε". Αντίθετα, στις δημοκρατίες των ελληνικών πόλεων υπήρχαν έμμεσες μόνο δυνατότητες άσκησης της διακυβέρνησης, δια μέσου της συγκατάθεσης και του ελέγχου θεσμοθετημένων συλλογικών οργάνων. Πολύ χαρακτηριστικά ο έγκριτος άγγλος ιστορικός Antony Andrewes παρατήρησε ότι "Στην Αθήνα κανένας δεν ασκούσε εξουσία για μεγαλύτερο χρονικό διάστημα από όσο μπορούσε να πείθει την εκκλησία του δήμου ότι οι απόψεις του είναι σωστές, και ήταν αναγκασμένος να πείθει το ίδιο ή ελαφρώς διαφορετικό ακροατήριο με την πάροδο του χρόνου, χωρίς διακοπή".^[8] Και ο Αγησίλαος Ντόκας συμπληρώνει "οι αρμοδιότητες των ανωτέρων κρατικών αξιωματούχων ήσαν, εξαιτίας της δύναμης που είχαν η Εκκλησία του Δήμου, η Βουλή και τα λαϊκά δικαστήρια, εξαιρετικά περιορισμένες.. Ακόμη και ο Περικλής, που είχε συγκεντρώσει ένα πλήθος πολιτικών, κυβερνητικών και στρατιωτικών αρμοδιοτήτων, ήταν κυρίαρχος στην Εκκλησία του Δήμου και καθώριζε τις αποφάσεις της μόνο χάρη στη δύναμη της προσωπικότητας του και του λόγου. Η θέση του ήταν νομικά επισφαλής, γιατί ο Δήμος μπορούσε στην επιχειροτονία που γινόταν σε κάθε πρυτανεία να τον απομακρύνη από το αξίωμα και να τον παραπέμψη σε δικαστήριο".^[9]

Επισημαίνεται, λοιπόν, όχι μόνο ο έμμεσος τρόπος διακυβέρνησης, αλλά και η αντίστοιχη κοινωνική συμπεριφορά και νοοτροπία των πολιτών της δημοκρατικής πόλης. Εδώ αξίζει να αναφερθεί ότι η πρώτη δημοκρατική διακυβέρνηση, που είναι γνωστή, πραγματοποιήθηκε στη Χίο, γύρω στο 600 π.Χ.^[10]

Στο πεδίο, τώρα, των εμπορικών δραστηριοτήτων παρατηρείται ένας σημαντικός νεωτερισμός στο δυτικό τμήμα της Μικράς Ασίας, κατά τον 7^ο αιώνα π.Χ. Ήταν η χρήση του νομίσματος ως μέσο συναλλαγών. Η εμφάνιση και η κυκλοφορία των νομισμάτων "διέλυε", σύμφωνα με τον

διαπρεπή άγγλο ιστορικό George Thomson, "όλες τις παλιές συνθήκες",^[11] γεγονός που δεν ήταν άσχετο με τις κοινωνικές ανακατατάξεις, ούτε με τη θεσμοποίηση και λειτουργία των μορφών δημοκρατικού πολιτεύματος σε κάποιες ελληνικές πόλεις. Αναφορικά με το θέμα ο Αριστοτέλης τόνισε, στα Ηθικά Νικομάχεια, τον διαμεσολαβητικό ρόλο του νομίσματος στην ποσοτική εκτίμηση και σύγκριση ετερογενών προϊόντων και έτσι την ανταλλακτική ισοδυναμία ανόμοιων πραγμάτων.^[12] Έχει μάλιστα επισημανθεί ότι το ζήτημα αυτό της ισοδυναμίας ανάγεται στους Πυθαγόρειους, που το αντιμετώπισαν με τη βοήθεια των αναλογιών.^{^[13]} Η ανέλιξη των ανταλλακτικών ισοδυναμιών από το εμπειρικό πλαίσιο του εμπορίου σ' ένα ευρύτερο πεδίο θεώρησης, όπως για παράδειγμα στις σχέσεις των μηκών χορδής με τους παραγόμενους μουσικούς ήχους, αντίστοιχα, ή των διαφορετικών πολιτικών δικαιωμάτων και υποχρεώσεων στο δημοκρατικό πολίτευμα, δεν ήταν άσχετη με την ανάπτυξη της ισότητας και των αναλογιών στα Μαθηματικά.^[14] Από την άλλη μεριά οι προ-ελληνικοί πολιτισμοί, όπως και στην αρχαϊκή ελληνική περίοδο, έκαναν τις ανταλλαγές άμεσα, δηλ. είδος με είδος. Συγκεκριμένα "από πολύ νωρίς στην ιστορία της Μεσοποταμίας χρησιμοποιείται το κυριότερο δημητριακό, το κριθάρι, σαν μέτρο της αξίας και γενικό ανταλλακτικό μέσο".^{^[15]} Στην αρχαία Αίγυπτο "χρησιμοποιούνται αρχικά ως μονάδες αναφοράς για τη μέτρηση της ανταλλακτικής αξίας διάφορα είδη-αλυσίδες, φυσερά, σανδάλια κ.ο.κ. Αργότερα θα χρησιμοποιηθεί σαν μέτρο της ανταλλακτικής αξίας ένα σταθερό βάρος μετάλλου, χρυσού, ασημιού ή και χαλκού".^[16] Αλλά και "ο Όμηρος αναφέρει στην Ιλιάδα πως ο Γλαύκος αντάλλαξε τη χρυσή του πανοπλία αξίας 100 βοδιών με τη μπρούντζινη πανοπλία του Διομήδη αξίας 9 βοδιών.^[17]

Η τρίτη αξιοσημείωτη καινοτομία του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού είναι η επαναστατική αλλαγή του τρόπου επικοινωνίας με την εδραίωση της αλφαβητικής κωδικοποίησης του γραπτού λόγου. Το νέο αυτό σύστημα γραφής διεύρυνε αρκετά τις εκφραστικές δυνατότητες μ' επακόλουθο να ανοίξει ένας νέος ορίζοντας αφηρημένης σκέψης.^[18] Και αυτό γιατί η αλφαβητική γραφή πρόβαλε μια νέα γλωσσική και γνωστική συμπεριφορά. Η συγκεκριμένη αλλαγή γίνεται φανερή όταν συγκριθούν τα εικονογραφικά, κατά βάση, συστήματα γραφής των προ-ελληνικών πολιτισμών με την αλφαβητική γραφή. Στην προκειμένη περίπτωση μπορεί να διαπιστωθεί ότι στα εικονογραφικά συστήματα τα σημαινόμενα εκφράζονται άμεσα με την οπτική τους αναπαράσταση, ενώ στην αλφαβητική γραφή αυτό γίνεται έμμεσα, γιατίκάθε γραπτή λέξη είναι ένας συνδυασμός συμβόλων που δεν έχουν νόημα από μόνα τους. Να σημειωθεί ότι το ελληνικό αλφάβητο προήλθε από το φοινικικό αλφάβητο και εξελίχθηκε από τον 8^ο αιώνα π.Χ. με διάφορες τοπικές ιδιομορφίες. Το 403 π.Χ. έγινε ένα σημαντικό βήμα ομογενοποίησης του, όταν οι Αθηναίοι υιοθέτησαν, με ψήφισμα, το ιωνικό αλφάβητο της Μιλήτου.^[19]

Οι τρεις αυτές καινοτομίες αποτελούν το "γενετικό υλικό" του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού και τον επιστημολογικό του φορέα. Ο πυρήνας αυτού του "υλικού" είναι ο έμμεσος τρόπος σκέψης. Αξίζει να αναφερθεί ένα παράδειγμα, από τα πολλά που υπάρχουν, όπου μπορεί να επισημανθεί η πολιτισμική αξία του έμμεσου τρόπου σκέψης στην αρχαία ελληνική πραγματικότητα και να φανεί η δημιουργικότητά του.

Ο Παρθενώνας είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα σύμβολα του "ελληνικού θαύματος". Η ακτινοβολία του, στον κόσμο όλο, είναι πολύ μεγάλη. Γιατί, όμως; Τι είναι αυτό που προκαλεί τον υπέρμετρο θαυμασμό; Είναι μόνο ένα μνημείο που σηματοδοτεί μια ένδοξη περίοδο της ιστορίας του πολιτισμού; Ή αναδεικνύει μια σημαντική ιδιαιτερότητα της κατασκευής του, που εναρμονίζεται με την πολιτισμική και πνευματική πρόοδο της ελληνικής κουλτούρας; Η σκοπιά αυτή δίνει τη δυνατότητα να ξεπεραστεί το επιφαινόμενο και να αποκαλυφθούν στοιχεία του καλλιτεχνικού και διανοητικού "παρασκηνίου" του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού. Και αυτό γιατί μπορεί να φωτίσει την πολιτισμική απήχηση του τρόπου σκέψης και συμπεριφοράς στις αισθητικές ευαισθησίες των αρχαίων Ελλήνων. Συγκεκριμένα ο Ικτίνος (5^ος αιώνας π.Χ.), ο αρχιτέκτονας του Παρθενώνα, ήθελε να δώσει στο ναό της Ακρόπολης την εξής μορφή:

Γνώριζε, όμως, ότι αν τον κατασκεύαζε μ' αυτό το πρότυπο, τότε το αποτέλεσμα θα είχε τις εξής οπτικές παραμορφώσεις:

Για να αποφύγει τις αισθητικές αυτές ατέλειες έκανε τις εξής αντισταθμιστικές παρεμβάσεις:

Έτσι δημιούργησε ένα αρχιτεκτόνημα υψηλής ποιοτικής στάθμης, που οφείλεται σε μια εκλεπτυσμένη ευαισθησία και σ' ένα βαθύ αναστοχασμό. Τα χαρακτηριστικά αυτά γίνονται φανερά όταν το εν λόγω μνημείο συγκριθεί με τις Πυραμίδες και τα Ζιγκουράτ. Στην περίπτωση αυτή ο Παρθενώνας ακτινοβολεί το μεγαλείο της αρμονίας και της αισθητικής ανάτασης, ενώ οι Πυραμίδες και τα Ζιγκουράτ προβάλλουν το μεγαλοπρεπές του όγκου τους. Με άλλα λόγια, στην πρώτη περίπτωση αντανακλάται η διεισδυτικότητα του έμμεσου τρόπου σκέψης και καλλιτεχνικής στάσης, ενώ στη δεύτερη αποτυπώνεται η υπερβολή της άμεσης δύναμης και αίγλης, δηλαδή τη μεγαλοπραγμοσύνη της εξουσίας που αντιπροσωπεύει.

Μέσα στη ριζοσπαστική αλλαγή που επέφερε ο έμμεσος τρόπος σκέψης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισμό, η μαθηματική σκέψη δεν μπορούσε να μείνει στατική. Εκτινάχθηκε σε πολύ υψηλό επίπεδο και δημιούργησε την πρώτη "επανάσταση" στην ιστορία των Μαθηματικών.^[20] Αξίζει να επισημανθούν ότι δύο νέες συνιστώσες που επέφεραν την επιστημολογική μεταλλαγή στη μαθηματική σκέψη του αρχαίου ελληνικού πολιτισμού ήταν η ισότητα και η απόδειξη. Όσο αφορά την πρώτη έχει επισημανθεί η συνάφεια της με τις πολιτισμικές διαστάσεις που εξέθρεψαν τον έμμεσο τρόπο σκέψης. Εκείνο όμως που θα πρέπει να υπογραμμισθεί είναι η απουσία της ισότητας και της λειτουργικότητάς της από την πολιτισμική και την επιστημολογική συγκυρία της προ-ελληνικής ιστορικής πραγματικότητας. Και αυτό γιατί οι σύγχρονοι ιστορικοί των Μαθηματικών παραγνωρίζουν το γεγονός αυτό και παραμορφώνουν την ιστορική κατανόηση προβάλλοντας, κατά κανόνα, αναχρονιστικές ανακατασκευές.^[21]

Επίσης και η προέλευση της απόδειξης είναι στενά συνυφασμένη με τον έμμεσο τρόπο σκέψης, γιατί αποτελεί το απαραίτητο στήριγμα για την αποδοχή των αποτελεσμάτων και των συμπερασμάτων της. Για παράδειγμα ο Θαλής δεν μπορούσε απλώς να ανακοινώσει το αποτέλεσμα των συλλογισμών και των μετρήσεων του για τον υπολογισμό του ύψους της πυραμίδας, έπρεπε να το τεκμηριώσει, διαφορετικά θα εκλαμβάνονταν ως μαγική ή μεταφυσική η ικανότητά του αυτή. Στον άμεσο τρόπο σκέψης και συμπεριφοράς δεν τίθεται, εκ των πραγμάτων, τέτοιο ζήτημα. Θα πρέπει, ωστόσο, να σημειωθεί ότι η ανάπτυξη της απόδειξης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισμό δεν ήταν ανεξάρτητη και από την καλλιέργεια της επιχειρηματολογίας στη Ρητορική, στη Φιλοσοφία, στην πολιτική και στη δημόσια ζωή.

Αυτή η θεώρηση της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής σκέψης, που δεν περιχαρακώνεται απλά στις περιγραφές των σπουδαίων επιτευγμάτων και στις αυθεντίες του συγκεκριμένου πολιτισμού, αλλά επιδιώκει την ανάδειξη της επιστημολογικής ιδιαιτερότητας σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες ανθρωπολογικές μεταλλαγές, έχει ως κύριο άξονα τη μεταγνωστική προσέγγιση του θέματος. Και αυτή η μεταγνωστική προσέγγιση μπορεί να χαρακτηριστεί ως πολιτισμικός αναστοχασμός (cultural reflexivity). Αρκετά ενδεικτική, για τον εν λόγω προβληματισμό, είναι η εξής επισήμανση:

"Ο πρώτος ακρογωνιαίος λίθος της [επιστημονικής ανάπτυξης] ήταν το δεύτερο επίπεδο κατανόησης (second-order concept) της απόδειξης που αναπτύχθηκε στην κλασική Ελλάδα".^[22] Και αυτό το δεύτερο επίπεδο κατανόησης δεν είναι άλλο παρά εκείνο της συνειδητής και συστηματικής σκέψης σχετικά με τη σκέψη, δηλαδή της μεταγνωστικής κατανόησης.

* Το κείμενο αυτό αποτελεί μέρος της εισήγησης "Η Ιστορία των Μαθηματικών ως Συνιστώσα του Μεταγνωστικού Υπόβαθρου των Δασκάλων του Σχετικού Μαθήματος" στο Διήμερο Διαλόγου για τη Διδασκαλία των Μαθηματικών με θέμα: Η Ιστορία των Μαθηματικών ως Μέσο Διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο και το Γυμνάσιο", που έγινε στις 8 και 9 Μαρτίου 2002 στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης του Α.Π.Θ.

^{^[1]} Βλ. Snell, B.: Η Ανακάλυψη του Πνεύματος. Ελληνικές Ρίζες της Ευρωπαϊκής Σκέψης, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τράπεζας, 1984, σελ. 9.

^{^[2]} Βλ. Καστάνη, Ν. / Τοκμακίδη, Τ.: Η ιστορική κληρονομιά των "Στοιχείων" του Ευκλείδη στην Ανθρωπότητα, στο βιβλίο: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΔΟΚΙΜΙΑ, επιμέλεια Δ. Αναπολιτάνου και Β. Καρασμάνη, εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα, 1993, σελ. 67-92, ειδ. σελ. 67.

^{^[3]} Βλ. στο ίδιο σελ. 82-83.

^{^[4]} Βλ. Τσιμπουράκη, Δ.; Η Γεωμετρία και οι Εργάτες της στην Αρχαία Ελλάδα, Αθήνα, 1985, σελ. 40-41.

^{^[5]} Βλ. Cohen, M.R. and Drabkin, I.E.: A Source Book in Greek Science, Harvard Univ. Press, ⁵1975, σελ. 151-153, Couder, P.: Η Ιστορία της Αστρονομίας, εκδ. Ι. Ν. Ζαχαρόπουλος, 1964, σελ. 47-48, Τσιμπουράκη, Δ., πρ. υπ. 40, σελ. 95.

^{^[6]} Βλ. Dicks, D.R.: Η Πρώιμη Ελληνική Αστρονομία, εκδ. Δαίδαλος/Ι. Ζαχαρόπουλος, 1991, σελ. 68, 129, Couder,P., πρ. υπ. 41, σελ. 47-48.

^{^[7]} Βλ. Lloyd, G.E.R.: Αρχαία Ελληνική Επιστήμη. Μέθοδοι και Προβλήματα, Τόμος Α', εκδ. Αλεξάνδρεια, 1996, σελ. 212 κ.ε. Vernant, J.-P.: Η Καταγωγή της Ελληνικής Σκέψης, εκδ. Δίπτυχο, 1966. Austin, M.M. / Vidal-Naquet, P.: Οικονομία και Κοινωνία στην Αρχαία Ελλάδα, εκδ. Δαιδαλός/Ι. Ζαχαρόπουλος, 1998, σελ. 88 κ.ε.

^{^[8]} Βλ. Andrewes, Α.: Αρχαία Ελληνική Κοινωνία, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1987, σελ. 273.

^{^[9]} Βλ. Ντόκα, Α.: Η Αθηναϊκή Δημοκρατία, Βιβλιοπωλείον της "Εστίας¹, σελ. 78.

^{^[10]} Βλ. Thomson, G.: Η Αρχαία Ελληνική Κοινωνία. Οι Πρώτοι Φιλόσοφοι, εκδ. Κέδρος, 1987, σελ. 211.

^{^[11]} Στο ίδιο, σελ. 208.

^{^[12]} Βλ. Austin, M.M. / Vidal-Naquet, P., πρ. υπ. 43, σελ. 308.

^Μ Βλ. Snell, B., πρ. υπ. 36, σελ. 290.

^{^[14]} Βλ. Harvey, F.D.: Two Kinds of Equality, Classica et Mediaevalia, 26, 1965, σελ. 101-146.

^{^[15]} Βλ. Θεοχάρη, Π.Δ.: Αρχαία και Βυζαντινή Οικονομική Ιστορία, εκδ. Παπαζήση, 1983, σελ. 36.

^{^[16]} Στο ίδιο, σελ. 27.

Στο ίδιο, σελ. 70.

^{^[18]} Βλ. Vernant, J.-P.: Μύθος και Σκέψη στην Αρχαία Ελλάδα, εκδ. Εγνατία, σελ. 356.

^{^[19]} Βλ. Jean, G.: Η γραφή, η Μνήμη του Ανθρώπου, εκδ. Δεληθανάση, 1991, σελ. 206-207.

^{^[20]} Βλ. Dauben, J.: Conceptual revolutions and the history of mathematics: two studies in the growth of knowledge, στο Gillies, D.(ed.): Revolutions in Mathematics, Clarendon Press, 1992, σελ. 49-82, ειδ. σελ. 52-57.

^{^[21]} Τις περισσότερες φορές γιατί είναι επηρεασμένοι από έναν ιστοριογραφικό πλατωνισμό, βλ., για παράδειγμα, Θωμαΐδη, Γ. / Καστάνη, Ν.: Ο όρος "Γεωμετρική Άλγεβρα" στο στόχαστρο μιας σύγχρονης επιστημολογικής διαμάχης, στο βιβλίο: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΔΟΚΙΜΙΑ, επιμέλεια Δ. Αναπολιτάνου και Β. Καρασμάνη, εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα, 1993, σελ. 27-52.

^{^[22]} Βλ. Elkana, Y.: The Emergence of Second-order Thinking in Classical Greece, στο Eisenstadt, S.N.(ed.): Axial Age Civilizations, State Univ. of New York Press, 1986, σελ. 40-64, ειδ. σελ. 64.

ΕΣΤΙΑΖΟΥΜΕ ΣΤΟΝ ΑΡΧΑΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ
«Τό ἑλληνικό μέτρον εἶναι τό πένθος τοῦ Λόγου» *Παναγιώτης Στάμος*
Κλασσικά κείμενα-αναλύσεις	Εργαλεία Φιλολόγων	Συνδέσεις	Εμείς και οι Αρχαίοι	Η Αθηναϊκή δημοκρατία
Αρχαία Σπάρτη	ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΡΘΡΟΓΡΑΦΙΑ		Θουκυδίδης	Το Αθηναϊκό πολίτευμα